2000 年考研数学（一） 第 14 题

曲面任意且积分恒为零，是“被积函数处处为零”的强信号。先用高斯公式把面积分化成体积分，再由区域 $\Omega$ 的任意性令散度 $\equiv 0$，得到一阶线性 ODE $f^{\prime }+(\frac{1}{x}-1)f=\frac{e^{2x}}{x}$。求出通解含常数 $C$，最后用极限条件（$x\to 0^{+}$ 时分母趋 $0$，须分子也趋 $0$）定出 $C=-1$。

分析：由封闭曲面积分恒为零结合高斯公式及曲面的任意性，导出 $f$ 满足的一阶线性微分方程，再用极限条件确定常数。

记 $P=xf(x),Q=-xyf(x),R=-e^{2x}z$。设 $S$ 取外侧、围成有界闭区域 $\Omega$，由高斯公式
$$\iint (\cdots )={\iiint }_{\Omega }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv={\iiint }_{\Omega }[f(x)+x{f}^{\prime }(x)-xf(x)-e^{2x}]dv=0.$$

由 $S$（从而 $\Omega$）的任意性，被积函数恒为零：$f(x)+x{f}^{\prime }(x)-xf(x)-e^{2x}=0$，整理为一阶线性方程
$$f^{\prime }(x)+(\frac{1}{x}-1)f(x)=\frac{e^{2x}}{x}.$$

积分因子 $\mu =e^{\int (1/x-1)dx}=x{e}^{-x}$，则 $(\mu f{)}^{\prime }=\mu \cdot \frac{e^{2x}}{x}=e^x$，积分得 $\mu f=e^x+C$，故
$$f(x)=\frac{e^x+C}{x{e}^{-x}}=\frac{e^x(e^x+C)}{x}.$$

由 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1$：当 $x\to 0^{+}$ 时分母 $\to 0$，须分子 $e^x+C\to 0$，即 $C=-1$。此时 $f(x)=\frac{e^x(e^x-1)}{x}$，且 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{e^x(e^x-1)}{x}=1$。故 $f(x)=\frac{e^x(e^x-1)}{x}$。