2000 年考研数学（一） 第 15 题

幂级数标准流程：比值法求 $R$、端点单独判别。$3^n$ 主导使 $R=3$，收敛区间 $(-3,3)$；端点 $x=3$ 时通项与 $\frac{1}{2n}$ 同阶而发散，$x=-3$ 时把系数拆成 $\frac{(-1{)}^n}{n}$（收敛）减去一个正项收敛级数，故收敛。$x=-3$ 处的拆项是判敛的技巧所在。

分析：先用比值法求收敛半径确定收敛区间，再分别判别两个端点处的收敛性。记系数 $a_n=\frac{1}{3^n+(-2{)}^n}\cdot \frac{1}{n}$。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+1}\cdot \frac{3^n+(-2{)}^n}{3^{n+1}+(-2{)}^{n+1}}=\frac{1}{3},$$
故收敛半径 $R=3$，收敛区间为 $(-3,3)$。

端点 $x=3$：级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3^n}{3^n+(-2{)}^n}\cdot \frac{1}{n}$。因 $\frac{3^n}{3^n+(-2{)}^n}\cdot \frac{1}{n}>\frac{1}{2n}>0$，而 $\sum \frac{1}{2n}$ 发散，由比较判别法该级数发散。

端点 $x=-3$：级数为
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3^n}{3^n+(-2{)}^n}\cdot \frac{(-1{)}^n}{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{3^n+(-2{)}^n}\cdot \frac{1}{n}.$$
前一级数 $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ 收敛；对正项级数 $\sum \frac{2^n}{3^n+(-2{)}^n}\cdot \frac{1}{n}$，由比值法 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2}{3}<1$ 收敛。两收敛级数之差收敛，故 $x=-3$ 时原级数收敛。

综上，收敛区间为 $(-3,3)$；端点 $x=-3$ 处收敛，$x=3$ 处发散（即收敛域为 $[-3,3)$）。