2000 年考研数学（一） 第 16 题

重心题先用对称性建系并直接砍掉 $\bar{x},\bar{y}$。把 $P_0$ 放在 $z$ 轴、密度含 $(z-R{)}^2$；展开后凡关于 $z$ 为奇函数的项在球上积分为 $0$，大幅简化。分子分母最终都归结为球坐标下的 $\iiint (x^2+y^2+z^2)dv=\frac{4\pi R^5}{5}$ 一类标准积分，算得 $\bar{z}=-\frac{R}{4}$。

分析：建立坐标系使球心在原点、$P_0$ 在 $z$ 轴上，用三重积分与奇偶对称性计算重心坐标。

设球体 $\Omega :x^2+y^2+z^2\le R^2$，取 $P_0=(0,0,R)$，密度 $\rho =k[x^2+y^2+(z-R{)}^2]$。由对称性 $\bar{x}=\bar{y}=0$，而
$$\bar{z}=\frac{{\iiint }_{\Omega }z[x^2+y^2+(z-R{)}^2]dv}{{\iiint }_{\Omega }[x^2+y^2+(z-R{)}^2]dv}.$$

分母：$x^2+y^2+(z-R{)}^2=(x^2+y^2+z^2)-2Rz+R^2$，由奇偶性 ${\iiint }_{\Omega }zdv=0$，故
$${\iiint }_{\Omega }[\cdots ]dv={\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dv+R^2{\iiint }_{\Omega }dv.$$
用球坐标 ${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dv={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }\sin \phi d\phi {\int }_0^R{r}^{4}dr=\frac{4\pi R^5}{5}$，又 $R^2\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4\pi R^5}{3}$，合计 $\frac{4\pi R^5}{5}+\frac{4\pi R^5}{3}=\frac{32\pi R^5}{15}$。

分子：${\iiint }_{\Omega }z[(x^2+y^2+z^2)-2Rz+R^2]dv$，其中 $z(x^2+y^2+z^2)$ 与 $z{R}^2$ 关于 $z$ 为奇函数，积分为 $0$，只剩
$$-2R{\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dv=-2R\cdot \frac{1}{3}{\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dv=-2R\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{4\pi R^5}{5}=-\frac{8\pi R^6}{15}.$$

于是 $\bar{z}=\frac{-8\pi R^6/15}{32\pi R^5/15}=-\frac{R}{4}$。故球体重心坐标为 $\left(0,0,-\frac{R}{4}\right)$，即位于球心到 $P_0$ 连线的反向、距球心 $\frac{R}{4}$ 处。