2000 年考研数学（一） 第 17 题

第一个零点靠“积分为零 $\Rightarrow$ 原函数两端相等 $\Rightarrow$ 罗尔定理”。难点在第二个零点，用反证：若只有一个零点 $c$，则 $f$ 两侧异号，巧妙构造 $(\cos x-\cos c)f(x)$ 使其恒非负（$\cos x-\cos c$ 与 $f$ 处处同号），积分必为正；但把它拆开用两个条件又算得 $0$，导出矛盾。这里 $\cos c$ 是让两个条件都用上的“配平因子”。

分析：先由第一个条件借助原函数与罗尔定理得到一个零点，再用反证法结合第二个条件证明至少存在两个零点。

令 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$，则 $F(0)=0$，$F(\pi )={\int }_0^{\pi }f(t)dt=0$。$F$ 在 $[0,\pi ]$ 上连续、在 $(0,\pi )$ 内可导，由罗尔定理存在 $c\in (0,\pi )$ 使 $F^{\prime }(c)=f(c)=0$。这是第一个零点。

反证：设 $f$ 在 $(0,\pi )$ 内除 $c$ 外再无其他零点，则 $f$ 在 $(0,c)$ 与 $(c,\pi )$ 内各自不变号且两侧异号。不妨设 $x\in (0,c)$ 时 $f(x)>0$，$x\in (c,\pi )$ 时 $f(x)<0$。

考虑 ${\int }_0^{\pi }(\cos x-\cos c)f(x)dx$。因 $\cos x$ 在 $(0,\pi )$ 上严格递减，$x\in (0,c)$ 时 $\cos x>\cos c$ 且 $f>0$，$x\in (c,\pi )$ 时 $\cos x<\cos c$ 且 $f<0$，故被积函数 $(\cos x-\cos c)f(x)\ge 0$ 且不恒为零，从而
$${\int }_0^{\pi }(\cos x-\cos c)f(x)dx>0.$$

但另一方面
$${\int }_0^{\pi }(\cos x-\cos c)f(x)dx={\int }_0^{\pi }f(x)\cos xdx-\cos c{\int }_0^{\pi }f(x)dx=0-0=0,$$
矛盾。故 $f$ 在 $(0,\pi )$ 内至少还有一个异于 $c$ 的零点，即至少存在两个不同的点 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 使 $f({\xi }_1)=f({\xi }_2)=0$。证毕。