2000 年考研数学（一） 第 18 题

三步走：先由 $|A^{\ast }|=|A{|}^3=8$ 定出 $|A|=2$；矩阵方程右乘 $A$ 化为 $(A-E)B=3A$，解得 $B=3(A-E{)}^{-1}A$；但只知 $A^{\ast }$ 不知 $A$，故把 $B$ 变形成只含 $A^{-1}=\frac{1}{2}{A}^{\ast }$ 的式子 $6(2E-A^{\ast }{)}^{-1}$，再对已知矩阵求逆。核心是“把未知的 $A$ 全换成已知的 $A^{\ast }$”。

分析：先由 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$ 求出 $|A|$，再化简矩阵方程解出 $B$，最后用 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$ 把结果化为关于 $A^{\ast }$ 的表达式来计算。

$A$ 为 $4$ 阶方阵，$|A^{\ast }|=|A{|}^{4-1}=|A{|}^3$。而 $|A^{\ast }|=\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& -3& 0& 8\end{array}\right|=8$（下三角块，主对角线之积 $1\cdot 1\cdot 1\cdot 8$），故 $|A{|}^3=8$，$|A|=2$。

由 $AB{A}^{-1}=B{A}^{-1}+3E$，两边右乘 $A$：$AB=B+3A$，即 $(A-E)B=3A$，故 $B=3(A-E{)}^{-1}A$。

变形：因 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=\frac{1}{2}{A}^{\ast }$，即 $2A^{-1}=A^{\ast }$，故
$$B=3[A^{-1}(A-E){]}^{-1}=3(E-A^{-1}{)}^{-1}=6(2E-2A^{-1}{)}^{-1}=6(2E-A^{\ast }{)}^{-1}.$$

计算 $2E-A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 1& 0\\ 0& 3& 0& -6\end{array}\right)$，其逆为 $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{6}\end{array}\right)$，故
$$B=6(2E-A^{\ast }{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}6& 0& 0& 0\\ 0& 6& 0& 0\\ 6& 0& 6& 0\\ 0& 3& 0& -1\end{array}\right).$$