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2000 年考研数学（一）第 19 题

解答题 · 8 分

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将

\frac{1}{6}

熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践，至年终考核有

\frac{2}{5}

成为熟练工。设第

n

年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为

x_{n}

和

y_{n}

，记成向量

(x_{n} y_{n})

。

（1）求

(x_{n + 1} y_{n + 1})

与

(x_{n} y_{n})

的关系式并写成矩阵形式

(x_{n + 1} y_{n + 1}) = A (x_{n} y_{n})

；

（2）验证

η_{1} = (41), η_{2} = (- 1 1)

是

A

的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；

（3）当

(x_{1} y_{1}) = (\frac{1}{2} \frac{1}{2})

时，求

(x_{n + 1} y_{n + 1})

提示 1

(1) 按“留存的熟练工 + 由非熟练工转化来的”逐项翻译成

x_{n + 1}, y_{n + 1}

；注意缺额由新招非熟练工补齐，这部分（

\frac{1}{6} x_{n}

）也参与转化。

提示 2

(2) 验证特征向量最直接：算

A η_{i}

，看是否等于某个

λ η_{i}

，从而读出特征值。

提示 3

(3) 这是求

A^{n}

的问题，用

P = (η_{1}, η_{2})

对角化

A^{n} = P Λ^{n} P^{- 1}

，再乘初始向量；注意所求为

(y _{n + 1} x _{n + 1}) = A^{n} (y _{1} x _{1})

。

答案与详解

思路（为什么这么做）

先把文字流程翻译成转移矩阵

A

，易错点是“缺额由新非熟练工补齐”，这批新工也按

\frac{2}{5}

转化。第 (2) 问验证特征向量只需代入算

A η

，无需解特征方程。第 (3) 问本质是求

A^{n}

：既然已有两个线性无关特征向量，就对角化

A^{n} = P Λ^{n} P^{- 1}

，

λ = 1

保持、

λ = \frac{1}{2}

给出随

n

衰减的

\frac{1}{2 ^{n}}

项。

解答

分析：把实际递推关系抽象为矩阵变换，再借助特征向量对角化求

A^{n}

。

（1） 次年熟练工 = 留下的

\frac{5}{6} x_{n}

加上由非熟练工（老非熟练工

y_{n}

与新补入的

\frac{1}{6} x_{n}

）转化的

\frac{2}{5}

：

⎩ ⎨ ⎧ x_{n + 1} = \frac{5}{6} x_{n} + \frac{2}{5} (\frac{1}{6} x_{n} + y_{n}), y_{n + 1} = \frac{3}{5} (\frac{1}{6} x_{n} + y_{n}),

整理得

⎩ ⎨ ⎧ x_{n + 1} = \frac{9}{10} x_{n} + \frac{2}{5} y_{n}, y_{n + 1} = \frac{1}{10} x_{n} + \frac{3}{5} y_{n} .

故

A = (\frac{9}{10} \frac{1}{10} \frac{2}{5} \frac{3}{5})

，

(x_{n + 1} y_{n + 1}) = A (x_{n} y_{n})

。

（2） 计算

A η_{1} = (\frac{9}{10} \frac{1}{10} \frac{2}{5} \frac{3}{5}) (41) = (41) = 1 \cdot η_{1}

，故

η_{1}

是特征值

λ_{1} = 1

的特征向量；

A η_{2} = (\frac{9}{10} \frac{1}{10} \frac{2}{5} \frac{3}{5}) (- 1 1) = (- \frac{1}{2} \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} η_{2}

，故

η_{2}

是特征值

λ_{2} = \frac{1}{2}

的特征向量。因

η_{1}, η_{2}

不成比例，故线性无关。

（3） 令

P = (η_{1}, η_{2}) = (41 - 1 1)

，则

P^{- 1} A P = (10 0 \frac{1}{2})

，从而

A^{n} = P (10 0 \frac{1}{2 ^{n}}) P^{- 1}

。由

P^{- 1} = \frac{1}{5} (1 - 1 14)

得

A^{n} = \frac{1}{5} (4 + \frac{1}{2 ^{n}} 1 - \frac{1}{2 ^{n}} 4 - \frac{1}{2 ^{n - 2}} 1 + \frac{1}{2 ^{n - 2}}) .

又

(x_{n + 1} y_{n + 1}) = A^{n} (x_{1} y_{1}) = A^{n} (\frac{1}{2} \frac{1}{2})

，代入得

(x_{n + 1} y_{n + 1}) = \frac{1}{10} 8 - \frac{3}{2 ^{n}} 2 + \frac{3}{2 ^{n}} .

考点：特征值与特征向量的概念与计算、矩阵的对角化

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