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2000 年考研数学（一）第 20 题

解答题 · 8 分

某流水生产线上每个产品不合格的概率为

p (0 < p < 1)

，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为

X

，求

X

的数学期望

E (X)

和方差

D (X)

提示 1

先辨认

X

的分布：首次出现不合格品时已生产的产品数，分布律

P {X = k} = (1 - p)^{k - 1} p

（几何分布）。

提示 2

求

E (X)

可借幂级数

\sum_{k \geq 1} k x^{k - 1} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}

，代

x = 1 - p

。

提示 3

求

D (X)

需先算

E (X^{2})

，把

\sum k^{2} x^{k - 1}

拆成

\sum k (k - 1) x^{k - 1}

与

\sum k x^{k - 1}

两个可求和的级数。

答案与详解

思路（为什么这么做）

认出几何分布是第一步——“首次失败前的产品数”。期望方差不必死记，可现推：把

\sum k x^{k - 1}

视为

\frac{x}{1 - x}

的导数得

\frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}

，把

\sum k^{2} x^{k - 1}

拆成

k (k - 1) + k

两个可求和的幂级数，代

x = 1 - p

即得

E (X) = \frac{1}{p}

、

E (X^{2}) = \frac{2 - p}{p ^{2}}

，相减得

D (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}}

。

解答

分析：

X

服从几何分布——首次出现不合格品时所生产的产品个数，分布律

P {X = k} = (1 - p)^{k - 1} p

。用幂级数求和求

E (X)

与

E (X^{2})

。

分布律：

P {X = k} = p (1 - p)^{k - 1} (k = 1, 2, \dots)

。

E (X) = k = 1 \sum \infty k p (1 - p)^{k - 1} = p k = 1 \sum \infty k (1 - p)^{k - 1}

。令

S (x) = k = 1 \sum \infty k x^{k - 1} = (k = 1 \sum \infty x^{k})^{'} = (\frac{x}{1 - x})^{'} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} (∣ x ∣ < 1)

，故

E (X) = pS (1 - p) = p \cdot \frac{1}{p ^{2}} = \frac{1}{p}

。

E (X^{2}) = p k = 1 \sum \infty k^{2} (1 - p)^{k - 1}

。令

S_{1} (x) = k = 1 \sum \infty k^{2} x^{k - 1} = k = 1 \sum \infty k (k - 1) x^{k - 1} + k = 1 \sum \infty k x^{k - 1} = x \cdot \frac{2}{( 1 - x ) ^{3}} + \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} = \frac{1 + x}{( 1 - x ) ^{3}}

，故

E (X^{2}) = p S_{1} (1 - p) = p \cdot \frac{2 - p}{p ^{3}} = \frac{2 - p}{p ^{2}}

。

于是

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = \frac{2 - p}{p ^{2}} - \frac{1}{p ^{2}} = \frac{1 - p}{p ^{2}}

。综上，

E (X) = \frac{1}{p}, D (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}}

。

考点：常见离散分布（二项、泊松、几何等）、数学期望、方差

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