2000 年考研数学（一） 第 21 题

这是“似然函数单调、极值在边界”的经典陷阱题。$\frac{d}{d\theta }\ln L=2n>0$ 使常规令导数为零的方法失效；破题关键是把定义域约束 $\theta \le x_i$（即 $\theta \le {\min }_i{x}_i$）显式写出——既然 $L$ 随 $\theta$ 增大，$\theta$ 只能取到上界，故 $\hat{\theta }={\min }_i\{x_i\}$。

分析：写出似然函数 $L(\theta )$，注意到 $L(\theta )$ 关于 $\theta$ 单调递增，不能用求导等于零，而应在约束 $\theta \le x_i$ 下取端点。

当所有 $x_i\ge \theta (i=1,\cdots ,n)$ 时，似然函数
$$L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )=\prod _{i=1}^{n}2e^{-2(x_i-\theta )}=2^n{e}^{-2{\sum }_{i=1}^n{x}_i+2n\theta },$$
取对数 $\ln L(\theta )=n\ln 2-2\sum _{i=1}^n{x}_i+2n\theta$。

$\frac{d}{d\theta }\ln L(\theta )=2n>0$，即 $\ln L(\theta )$ 关于 $\theta$ 严格单调递增。故在约束 $\theta \le x_i(\forall i)$，即 $\theta \le \underset{1\le i\le n}{\min }\{x_i\}$ 的范围内，$\theta$ 取最大允许值时 $L$ 达到最大。

故 $\theta$ 的最大似然估计值为 $\hat{\theta }=\underset{1\le i\le n}{\min }\{x_i\}$。