2000 年考研数学（一） 第 8 题

正面看 D：$\sum (u_n+u_{n+1})$ 的部分和 $S_n^{\prime }=2S_n-u_1+u_{n+1}$，由 $S_n\to S$、$u_{n+1}\to 0$ 知它收敛。反面排除 A、B、C 则靠经典反例（如取 $u_n=(-1{)}^n/\sqrt{n}$ 使 $\sum u_n^2=\sum 1/n$ 发散）。选择题里“正面验证一个、反面举例排除”是最省时的组合拳。

分析：收敛级数“分组相加后仍收敛”是关键；其余选项可用反例排除。

D 正确：设 $S_n=u_1+\cdots +u_n\to S$。$\sum (u_n+u_{n+1})$ 的部分和
$$S_n^{\prime }=(u_1+u_2)+(u_2+u_3)+\cdots +(u_n+u_{n+1})=2S_n-u_1+u_{n+1}.$$
由 $S_n\to S$、$u_{n+1}\to 0$，得 $S_n^{\prime }\to 2S-u_1$，故该级数收敛。

反例排除其余：取 $u_n=\frac{(-1{)}^n}{\ln (n+1)}$（条件收敛），则 $\sum (-1{)}^n\frac{u_n}{n}=\sum \frac{1}{n\ln (n+1)}$ 发散，A 错；取 $u_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$，$\sum u_n^2=\sum \frac{1}{n}$ 发散，B 错；取 $u_n=\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$，$\sum (u_{2n-1}-u_{2n})=\sum (\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n})$ 发散，C 错。故选 D。