2000 年考研数学（一） 第 7 题

第一型曲面积分靠“对称性 + 奇偶性”判断。$x$、$y$ 在上半球上是奇函数且曲面关于坐标面对称，积分为 $0$，可排除含它们的选项；$z$ 是偶函数给出 ${\iint }_{S}zdS=4{\iint }_{S_1}zdS$，再用 $S_1$ 的轮换对称把 $z$ 换成 $x$，得到 C。

分析：利用对面积的曲面积分的对称性。$S$ 是上半球面，关于 $yOz$ 面与 $zOx$ 面都对称。

被积函数 $x$ 关于 $x$ 为奇函数、$S$ 关于 $yOz$ 面对称，故 ${\iint }_{S}xdS=0$；同理 ${\iint }_{S}ydS=0$。而 A、B 右端 $4{\iint }_{S_1}xdS>0$，故 A、B 错。

对于 $z$：它在 $S$ 上关于 $yOz$、$zOx$ 面均为偶函数，故 ${\iint }_{S}zdS=4{\iint }_{S_1}zdS$。又 $S_1$ 关于 $x,y,z$ 具有轮换对称性，${\iint }_{S_1}zdS={\iint }_{S_1}xdS$，于是 ${\iint }_{S}zdS=4{\iint }_{S_1}xdS$，应选 C。

对 D：$xyz$ 关于 $x$ 为奇函数、$S$ 关于 $yOz$ 面对称，故 ${\iint }_{S}xyzdS=0$，而右端一般不为零，D 错。