2000 年考研数学（一） 第 6 题

$f^{\prime }g-f{g}^{\prime }$ 恰是 ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }$ 的分子，这个结构匹配就是破题钥匙——看到这种组合立刻构造商函数。判出 $f/g$ 严格递减后，在 $a<x<b$ 得 $\frac{f(x)}{g(x)}>\frac{f(b)}{g(b)}$，再借 $g>0$ 去分母整理成选项形式。

分析：条件 $f^{\prime }g-f{g}^{\prime }<0$ 恰是商函数 ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }$ 的分子，提示构造辅助函数 $\frac{f}{g}$。

由 ${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}<0$，知 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在区间上严格单调递减。

故当 $a<x<b$ 时 $\frac{f(x)}{g(x)}>\frac{f(b)}{g(b)}$。因 $g>0$，两边同乘 $g(x)g(b)>0$，得 $f(x)g(b)>f(b)g(x)$，应选 A。