2000 年考研数学（一） 第 5 题

两个条件各提供一个方程。由对称条件 $P(A\bar{B})=P(\bar{A}B)$ 立刻得 $P(A)=P(B)$，先减少一个未知量；再把“都不发生”化为并集概率并用独立性展开，得到关于 $P(A)$ 的二次方程。解得两根后舍去大于 $1$ 的那个，取 $\frac{2}{3}$。

分析：利用 $P(A\bar{B})=P(A)-P(AB)$ 等关系及独立性建立方程。

由 $P(A\bar{B})=P(\bar{A}B)$，即 $P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB)$，得 $P(A)=P(B)$。

由“都不发生”$P(\bar{A}\bar{B})=P(\overline{A+B})=1-P(A+B)=\frac{1}{9}$，得 $P(A+B)=\frac{8}{9}$。

又 $A,B$ 独立，$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=2P(A)-P^2(A)$，故
$$P^2(A)-2P(A)+\frac{8}{9}=0,$$
解得 $P(A)=\frac{2}{3}$（另一根 $\frac{4}{3}>1$ 舍去）。