2000 年考研数学（一） 第 4 题

无解的标志是 $r(A)<r(\bar{A})$，由此推出 $r(A)<3$ 即 $|A|=0$，这是缩小 $a$ 范围的第一步。行列式给出两个候选值，但因 $|A|=0$ 仅为必要条件，必须逐一代回验证——其中一个会得到有无穷多解，需舍去，只有另一个才真正无解。

分析：非齐次线性方程组无解 $⟺r(A)<r(\bar{A})$。由 $r(A)<r(\bar{A})\le 3$ 知 $r(A)<3$，即系数行列式 $|A|=0$。

计算行列式：
$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& a+2\\ 1& a& -2\end{array}\right|=-(a-3)(a+1),$$
令 $|A|=0$ 解得 $a=3$ 或 $a=-1$。

当 $a=3$ 时，对增广矩阵作初等行变换：
$$\bar{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 2& 3& 5& 3\\ 1& 3& -2& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 0& -1& 3& 1\\ 0& 1& -3& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 0& -1& 3& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$
得 $r(A)=r(\bar{A})=2$，方程组有无穷多解，不符合无解要求。

故 $a=-1$。（此时 $r(A)=2<r(\bar{A})=3$，方程组确实无解。）