2000 年考研数学（一） 第 3 题

观察到方程只含 $y^{\prime \prime }$ 与 $y^{\prime }$、不含 $y$，这是“不显含 $y$”的可降阶信号。令 $p=y^{\prime }$ 把二阶化为可分离变量的一阶方程，解得 $p=C_0/x^3$，再积分一次得 $y$。全程降一次、积一次，最终两个任意常数缺一不可。

分析：方程不显含未知函数 $y$，是可降阶方程。令 $p=y^{\prime }$，则 $y^{\prime \prime }=p^{\prime }$。

原方程化为 $x{p}^{\prime }+3p=0$，即 $\frac{dp}{p}=-\frac{3}{x}dx$，解得 $p=y^{\prime }=\frac{C_0}{x^3}$。

再积分：$y=\int \frac{C_0}{x^3}dx=-\frac{C_0}{2x^2}+C_2=\frac{C_1}{x^2}+C_2$（$C_1,C_2$ 为任意常数）。