2000 年考研数学（一） 第 2 题

核心是记住法向量等于梯度 $\{F_x,F_y,F_z\}$。把曲面移项写成 $F=0$，求偏导代点即得法方向；算出 $\{2,-8,12\}$ 后约去公因子取 $\{1,-4,6\}$，配上定点用点向式即可，方向数约简能让答案更简洁。

分析：曲面 $F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-21=0$ 在某点的法线方向即梯度 $\mathbf{n}=\{F_x,F_y,F_z\}$。

计算偏导 $F_x=2x,F_y=4y,F_z=6z$。在点 $(1,-2,2)$ 处
$$\mathbf{n}=\{2x,4y,6z\}{|}_{(1,-2,2)}=\{2,-8,12\},$$
约去公因子可取方向数 $\{1,-4,6\}$。

故法线方程为 $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z-2}{6}$。