2000 年考研数学（一） 第 1 题

看到根号下的二次式，第一反应是配方成 $1-(x-1{)}^2$。配方后有两条路：三角换元把根式去掉，或直接认出 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 是一段上半圆、定积分就是它与 $x$ 轴围成的面积。识别出圆这一几何背景往往能最快得到 $\frac{\pi }{4}$。

分析：被开方式配方 $2x-x^2=1-(x-1{)}^2$，既可换元求解，也可用定积分的几何意义。

方法一（换元）：令 $t=x-1$，则
$${\int }_0^1\sqrt{2x-x^2}dx={\int }_0^1\sqrt{1-(x-1{)}^2}d(x-1)={\int }_{-1}^0\sqrt{1-t^2}dt.$$
再令 $t=\sin \theta$，当 $t=-1,0$ 时 $\theta =-\frac{\pi }{2},0$，得 ${\int }_{-\pi /2}^0{\cos }^2\theta d\theta =\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$。

方法二（几何意义）：${\int }_0^1\sqrt{2x-x^2}dx$ 表示曲线 $y=\sqrt{2x-x^2}$（即上半圆 $(x-1{)}^2+y^2=1,y\ge 0$）在 $0\le x\le 1$ 上与 $x$ 轴所围的面积，恰为单位圆的四分之一，故等于 $\frac{\pi }{4}$。