1999 年考研数学（一） 第 20 题

有「相互独立」这个条件，联合分布不必逐格给定——每格都满足 $p_{ij}=p_{i\cdot }{p}_{\cdot j}$。解题像填数独：先由已知格加边缘和的约束撬开一个入口（第一列凑出 $p_{11}$），再用独立性反解出 $p_{1\cdot }$，然后乘积关系与「各边缘之和为 $1$」交替推进直到填满。抓住「独立 = 乘积」「行列和 = 边缘」两把尺子即可。

分析：利用独立性 $p_{ij}=p_{i\cdot }{p}_{\cdot j}$，以及各行、各列（含边缘）之和的约束，逐格求出空白值。

由第一列 $p_{11}+p_{21}=p_{\cdot 1}$：$p_{11}+\frac{1}{8}=\frac{1}{6}$，得 $p_{11}=\frac{1}{24}$。
由独立性 $p_{11}=p_{1\cdot }{p}_{\cdot 1}$：$\frac{1}{24}=p_{1\cdot }\cdot \frac{1}{6}$，得 $p_{1\cdot }=\frac{1}{4}$，从而 $p_{2\cdot }=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。

由 $p_{12}=p_{1\cdot }{p}_{\cdot 2}$：$\frac{1}{8}=\frac{1}{4}{p}_{\cdot 2}$，得 $p_{\cdot 2}=\frac{1}{2}$；再由 $p_{\cdot 1}+p_{\cdot 2}+p_{\cdot 3}=1$ 得 $p_{\cdot 3}=\frac{1}{3}$。
其余各格由独立性得 $p_{13}=p_{1\cdot }{p}_{\cdot 3}=\frac{1}{12}$，$p_{22}=p_{2\cdot }{p}_{\cdot 2}=\frac{3}{8}$，$p_{23}=p_{2\cdot }{p}_{\cdot 3}=\frac{1}{4}$。

完整的联合分布律及边缘分布律为：

$$\begin{array}{ccccc}X\backslash Y& y_1& y_2& y_3& p_{i\cdot }\\ x_1& \frac{1}{24}& \frac{1}{8}& \frac{1}{12}& \frac{1}{4}\\ x_2& \frac{1}{8}& \frac{3}{8}& \frac{1}{4}& \frac{3}{4}\\ p_{\cdot j}& \frac{1}{6}& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& 1\end{array}$$