1999 年考研数学（一） 第 19 题

正定性证明用定义，关键代数变形是 $X^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}ABX=(BX{)}^{\mathrm{T}}A(BX)$，把 $A$ 的正定性接上来。于是 $B^{\mathrm{T}}AB$ 正定 $\iff$ 对一切 $X\ne 0$ 都有 $BX\ne 0$ $\iff$ 齐次方程 $BX=0$ 只有零解 $\iff r(B)=n$。核心是「令 $Y=BX$ 把两个矩阵的条件桥接起来」，充分性与必要性正是这条链的正反两读。

分析：$B^{\mathrm{T}}AB$ 显然是 $n$ 阶实对称矩阵。用正定定义 $X^{\mathrm{T}}(B^{\mathrm{T}}AB)X=(BX{)}^{\mathrm{T}}A(BX)$，结合 $A$ 正定与齐次方程 $BX=0$ 是否只有零解来证。

必要性：设 $B^{\mathrm{T}}AB$ 正定。对任意 $X\ne 0$，有
$$X^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}ABX=(BX{)}^{\mathrm{T}}A(BX)>0.$$
若存在 $X\ne 0$ 使 $BX=0$，则上式为 $0$，矛盾。故 $BX=0$ 只有零解，从而 $r(B)=n$。

充分性：设 $r(B)=n$。对任意 $X\ne 0$，令 $Y=BX$。因 $r(B)=n$，齐次方程 $BX=0$ 只有零解，故 $X\ne 0$ 时 $Y=BX\ne 0$。

又 $A$ 正定，故
$$X^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}ABX=Y^{\mathrm{T}}AY>0,$$
即 $B^{\mathrm{T}}AB$ 正定。综上，$B^{\mathrm{T}}AB$ 正定 $⟺r(B)=n$。证毕。