1999 年考研数学（一） 第 18 题

关键桥梁是 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$，故由 $A\mathbf{\alpha }=\mu \mathbf{\alpha }$ 可得 $A^{\ast }\mathbf{\alpha }=\frac{|A|}{\mu }\mathbf{\alpha }$，即 $A^{\ast }$ 与 $A$ 共特征向量、特征值互为 $\frac{|A|}{\mu }$。于是把「$A^{\ast }$ 的特征向量」问题转化为好算的向量方程 $A\mathbf{\alpha }=\mu \mathbf{\alpha }$，逐分量列式定出 $a,b,c,\mu$，最后由 $|A|=-1$ 及 ${\lambda }_0=\frac{|A|}{\mu }$ 收尾。

分析：$A^{\ast }$ 与 $A$ 有相同的特征向量。若 $A\mathbf{\alpha }=\mu \mathbf{\alpha }$，则 $A^{\ast }\mathbf{\alpha }=\frac{|A|}{\mu }\mathbf{\alpha }$，即 ${\lambda }_0=\frac{|A|}{\mu }$。先由 $A\mathbf{\alpha }=\mu \mathbf{\alpha }$ 定出参数。

设 $A\mathbf{\alpha }=\mu \mathbf{\alpha }$，即
$$\left(\begin{array}{ccc}a& -1& c\\ 5& b& 3\\ 1-c& 0& -a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right)=\mu \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right)⟹\{\begin{array}{l}-a+1+c=-\mu ,\\ -b-2=-\mu ,\\ c-1-a=\mu .\end{array}$$

第一式与第三式相加得 $-2a+2c=0$，即 $a=c$；代回第三式得 $\mu =-1$；再由第二式 $-b-2=-\mu =1$ 得 $b=-3$。

又 $|A|=\left|\begin{array}{ccc}a& -1& a\\ 5& -3& 3\\ 1-a& 0& -a\end{array}\right|=a-3=-1$，解得 $a=2$，故 $c=2$。

最后 ${\lambda }_0=\frac{|A|}{\mu }=\frac{-1}{-1}=1$。综上 $a=2,b=-3,c=2,{\lambda }_0=1$。