1999 年考研数学（一） 第 17 题

递推型积分 $a_n$ 求和，先找相邻项的组合恒等式：利用 $1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x=(\tan x{)}^{\prime }$，$a_n+a_{n+2}$ 立刻凑微分算出 $\frac{1}{n+1}$，于是级数可裂项求和。第二问要收敛性，不必精确算 $a_n$，只需放大：换元 $t=\tan x$ 得 $a_n\le \frac{1}{n+1}$，再套比较判别法与 $p$-级数。「凑微分求组合、放缩比大小」分别是两问的钥匙。

分析：(1) 先求 $a_n+a_{n+2}$（利用 $1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$ 凑微分），得裂项级数求和；(2) 估计 $a_n$ 的上界后用比较判别法。

(1) 利用 $1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$，
$$a_{n+2}+a_n={\int }_0^{\pi /4}{\tan }^{n}x({\tan }^{2}x+1)\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi /4}{\tan }^{n}x\mathrm{d}(\tan x)=\frac{1}{n+1}{\tan }^{n+1}x{|}_0^{\pi /4}=\frac{1}{n+1}.$$

于是
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}(a_n+a_{n+2})=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}.$$
其部分和 $S_N=\sum _{n=1}^N(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{N+1}\to 1(N\to \infty )$，故
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}(a_n+a_{n+2})=1.$$

(2) 令 $t=\tan x$，则
$$a_n={\int }_0^{\pi /4}{\tan }^{n}x\mathrm{d}x={\int }_0^1\frac{t^n}{1+t^2}\mathrm{d}t\le {\int }_0^1{t}^n\mathrm{d}t=\frac{1}{n+1}\le \frac{1}{n}.$$
从而 $0\le \frac{a_n}{n^{\lambda }}\le \frac{1}{n^{\lambda +1}}$。

因 $\lambda >0$，有 $\lambda +1>1$，故 $p$-级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\lambda +1}}$ 收敛。由比较判别法，$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{n^{\lambda }}$ 收敛。