1999 年考研数学（一） 第 16 题

被积量含「原点到切平面的距离」，先按套路求 $\rho$：梯度给法向量 → 切平面方程 → 点到面距离公式。第一类曲面积分统一投影到 $xy$ 面化为二重积分。此题妙在代入后 $\frac{z}{\rho }\mathrm{d}S$ 里的 $z$ 与根式相消，被积函数化为 $\frac{1}{4}(4-x^2-y^2)$，极坐标一算即得。要点是先几何求 $\rho$，再靠代数化简清障。

分析：先写出 $S$ 在 $P$ 处的切平面方程，求原点到它的距离 $\rho$，再把第一类曲面积分投影到 $xOy$ 面化为二重积分。

记 $G(x,y,z)=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2-1$，法向量 $\mathbf{n}=\{x,y,2z\}$，$S$ 在 $P$ 处的切平面为
$$\pi :x(X-x)+y(Y-y)+2z(Z-z)=0,$$
即 $\frac{x}{2}X+\frac{y}{2}Y+zZ-1=0$。于是原点到 $\pi$ 的距离
$$\rho (x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+z^2}}.$$

$S:z=\sqrt{1-\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}}$，投影区域 $D_{xy}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 2\}$。由 $z_x=-\frac{x}{2z},z_y=-\frac{y}{2z}$ 得
$$\mathrm{d}S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{\sqrt{4-x^2-y^2}}{2z}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

注意在 $S$ 上 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+z^2=\frac{4-x^2-y^2}{4}$，故
$$\frac{z}{\rho }\mathrm{d}S=z\sqrt{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+z^2}\cdot \frac{\sqrt{4-x^2-y^2}}{2z}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{4}(4-x^2-y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

化为极坐标计算：
$${\iint }_S\frac{z}{\rho }\mathrm{d}S=\frac{1}{4}{\iint }_{D_{xy}}(4-x^2-y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{4}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\sqrt{2}}(4-r^2)r\mathrm{d}r=\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 3=\frac{3\pi }{2}.$$