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1999 年考研数学（一）第 15 题

解答题 · 6 分

为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口。已知井深

30 m

，抓斗自重

400 N

，缆绳每米重

50 N

，抓斗抓起的污泥重

2000 N

，提升速度为

3 m/s

，在提升过程中，污泥以

20 N/s

的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①

1 N \times 1 m = 1 J

；

m, N, s, J

分别表示米、牛顿、秒、焦耳。② 抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。）

提示 1

把克服重力的总功拆成三部分：抓斗自重、缆绳、污泥，分别计算再相加。

提示 2

缆绳和污泥的重量在提升过程中随位置 / 时间变化，用微元法先建立

d W

再积分。

提示 3

污泥漏损按时间计更方便（提升共

10

秒），注意统一好用位移还是时间作积分变量。

答案与详解

答案 $91500 J$

思路（为什么这么做）

变力做功用微元法

W = \int d W

。总功可按受力对象分解：抓斗自重是常力，直接乘高度；缆绳重随剩余长度变，宜用位移

x

作元；污泥因匀速上升、重量随时间线性减少，宜用时间

t

作元（

d x = 3 d t

）。分对象、各选合适的积分变量，是这类物理应用题的关键。

解答

分析：把克服重力的总功分成三部分——提升抓斗自重、提升缆绳、提升污泥，分别用微元法计算再求和。

提升抓斗自重的功 $W_{1}$ ：抓斗自重

400 N

，提升高度

30 m

，

W_{1} = 400 \times 30 = 12000 (J) .

提升缆绳的功 $W_{2}$ ：取井底为原点，

x

轴竖直向上。当抓斗升到高度

x

时，井中缆绳长

30 - x

，重

50 (30 - x)

。在

[x, x + d x]

上克服绳重做功

d W_{2} = 50 (30 - x) d x

，

W_{2} = 50 \int_{0}^{30} (30 - x) d x = 50 \times 450 = 22500 (J) .

提升污泥的功 $W_{3}$ ：以时间

t

计，提升共需

30/3 = 10 s

。

t

时刻污泥重

2000 - 20 t

，此刻抓斗以

3 m/s

上升，在

[t, t + d t]

内上升

3 d t

，做功

d W_{3} = (2000 - 20 t) \cdot 3 d t

，

W_{3} = 3 \int_{0}^{10} (2000 - 20 t) d t = 3 \times 19000 = 57000 (J) .

故克服重力所做的总功

W = W_{1} + W_{2} + W_{3} = 12000 + 22500 + 57000 = 91500 (J) .

考点：定积分物理应用（功、压力、引力）、定积分的计算

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