1999 年考研数学（一） 第 21 题

矩估计的标准流程：把总体矩 $E(X)$ 算成 $\theta$ 的函数，令 $E(X)=\overline{X}$ 解出 $\hat{\theta }$。这里 $E(X)=\frac{\theta }{2}$ 直接给出 $\hat{\theta }=2\overline{X}$。求 $D(\hat{\theta })$ 则走方差传递：$D(\hat{\theta })=4D(\overline{X})=\frac{4}{n}D(X)$，而 $D(X)$ 由 $E(X^2)-[E(X){]}^2$ 得到。全程只用到「矩估计 = 令矩相等」和「样本均值方差 = 总体方差 / n」两条。

分析：(1) 用一阶矩 $E(X)=\overline{X}$ 解出 $\theta$；(2) 先求 $D(X)$，再由 $\hat{\theta }=2\overline{X}$ 及样本独立同分布求 $D(\hat{\theta })$。

(1)
$$E(X)={\int }_0^{\theta }x\cdot \frac{6x}{{\theta }^3}(\theta -x)\mathrm{d}x=\frac{6}{{\theta }^3}{\int }_0^{\theta }(\theta x^2-x^3)\mathrm{d}x=\frac{6}{{\theta }^3}\cdot \frac{{\theta }^4}{12}=\frac{\theta }{2}.$$
令 $E(X)=\overline{X}$，即 $\frac{\theta }{2}=\overline{X}$，得矩估计量 $\hat{\theta }=2\overline{X}$。

(2) 先求二阶原点矩
$$E(X^2)={\int }_0^{\theta }{x}^2\cdot \frac{6x}{{\theta }^3}(\theta -x)\mathrm{d}x=\frac{6}{{\theta }^3}{\int }_0^{\theta }(\theta x^3-x^4)\mathrm{d}x=\frac{6}{{\theta }^3}\cdot \frac{{\theta }^5}{20}=\frac{3{\theta }^2}{10},$$
故
$$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{3{\theta }^2}{10}-\frac{{\theta }^2}{4}=\frac{{\theta }^2}{20}.$$

由于 $X_1,\cdots ,X_n$ 独立同分布，$D(\overline{X})=\frac{D(X)}{n}$，故
$$D(\hat{\theta })=D(2\overline{X})=4D(\overline{X})=\frac{4}{n}D(X)=\frac{4}{n}\cdot \frac{{\theta }^2}{20}=\frac{{\theta }^2}{5n}.$$