1999 年考研数学（一） 第 12 题

被积表达式含 $e^x\sin y$ 等不易直接积分，且路径是圆弧，提示用格林公式。$L$ 不闭合，就补 $x$ 轴上的线段 $\overline{OA}$ 凑成封闭区域；算出 $Q_x-P_y=b-a$ 为常数，二重积分即「常数 × 半圆面积」。最后减去补线段上的积分（那里 $y=0$ 极好算）即得。要点是「补线—用格林—减补线」。

分析：$L$ 不封闭，补上从 $O$ 到 $A$ 的直线段 $\overline{OA}$（在 $x$ 轴上）使之封闭，用格林公式算封闭曲线上的积分，再减去补线段上的积分。

记 $P=e^x\sin y-b(x+y)$，$Q=e^x\cos y-ax$，则
$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=(e^x\cos y-a)-(e^x\cos y-b)=b-a.$$
曲线 $L$ 是上半圆周 $(x-a{)}^2+y^2=a^2(y\ge 0)$ 从 $A(2a,0)$ 到 $O(0,0)$ 的弧。补直线段 $\overline{OA}$（从 $O$ 到 $A$），则 $L+\overline{OA}$ 为正向（逆时针）封闭曲线，围成上半圆盘 $D$。

由格林公式（$D$ 的面积为 $\frac{1}{2}\pi a^2$）：
$${\oint }_{L+\overline{OA}}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\iint }_D(b-a)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{\pi }{2}(b-a)a^2.$$

在 $\overline{OA}$ 上 $y=0,\mathrm{d}y=0$，$x$ 从 $0$ 到 $2a$：
$${\int }_{\overline{OA}}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\int }_0^{2a}(-bx)\mathrm{d}x=-2a^{2}b.$$

故
$$I={\oint }_{L+\overline{OA}}-{\int }_{\overline{OA}}=\frac{\pi }{2}(b-a)a^2-(-2a^{2}b)=(\frac{\pi }{2}+2)a^{2}b-\frac{\pi }{2}{a}^3.$$