1999 年考研数学（一） 第 11 题

「由两个方程确定 $y(x),z(x)$」是隐函数组求导，标准做法是把每个方程对 $x$ 求导，得到以 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$ 为未知量的线性方程组，再解出所求的那一个。难点只在于别漏掉 $y$ 也是 $x$ 的函数（$f(x+y)$ 里含 $1+y^{\prime }$），其余是机械地解方程组。

分析：$x$ 是自变量，$y,z$ 都是 $x$ 的函数。将两个方程都对 $x$ 求导，得到关于 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$ 的线性方程组，再解出 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$。

对 $z=xf(x+y)$ 两边关于 $x$ 求导（$f^{\prime }$ 表示 $f$ 对其自变量的导数，且 $x+y$ 对 $x$ 的导数为 $1+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$）：
$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=f+x(1+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})f^{\prime }.$$
对 $F(x,y,z)=0$ 两边关于 $x$ 求导：
$$F_x^{\prime }+F_y^{\prime }\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+F_z^{\prime }\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=0.$$

整理成以 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$ 为未知量的线性方程组：
$$\{\begin{array}{l}-x{f}^{\prime }\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=f+x{f}^{\prime },\\ F_y^{\prime }\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+F_z^{\prime }\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=-F_x^{\prime }.\end{array}$$

由克拉默法则（或消去 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$）解得
$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=\frac{(f+x{f}^{\prime })F_y^{\prime }-x{f}^{\prime }{F}_x^{\prime }}{F_y^{\prime }+x{f}^{\prime }{F}_z^{\prime }}(F_y^{\prime }+x{f}^{\prime }{F}_z^{\prime }\ne 0).$$