1999 年考研数学（一） 第 13 题

几何 / 面积条件转微分方程的套路：先用导数的几何意义写出 $S_1=\frac{y^2}{2y^{\prime }}$、用定积分写出 $S_2$，代入恒等式得含变限积分的方程，两边求导把积分号消掉。所得 $y{y}^{\prime \prime }=y^{\prime 2}$ 不显含自变量 $x$，故用 $y^{\prime \prime }=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$ 降阶。初始条件靠在积分方程里代 $x=0$ 补齐，是典型的「面积 → 常微分方程」综合题。

分析：先把 $S_1,S_2$ 用 $x,y,y^{\prime }$ 表示，代入 $2S_1-S_2=1$ 得含变限积分的方程，两边求导化为微分方程求解。

过 $P(x,y)$ 的切线为 $Y-y=y^{\prime }(X-x)$。令 $Y=0$ 得切线与 $x$ 轴交点 $Q(x-\frac{y}{y^{\prime }},0)$，垂足为 $T(x,0)$。三角形 $PQT$ 底 $|QT|=\frac{y}{y^{\prime }}$、高为 $y$，故
$$S_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{y}{y^{\prime }}\cdot y=\frac{y^2}{2y^{\prime }},S_2={\int }_0^{x}y(t)\mathrm{d}t.$$

由 $2S_1-S_2=1$ 得
$$\frac{y^2}{y^{\prime }}-{\int }_0^{x}y(t)\mathrm{d}t=1.$$
两边对 $x$ 求导并整理，得 $y{y}^{\prime \prime }=y^{\prime 2}$。

这是可降阶方程。令 $y^{\prime }=p$，把 $p$ 视为 $y$ 的函数，$y^{\prime \prime }=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$，代入得 $yp\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=p^2$。因 $p=y^{\prime }>0$，约去 $p$ 得 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=\frac{p}{y}$，解得 $p=C_{1}y$。

在原积分方程中令 $x=0$：$\frac{y^2(0)}{y^{\prime }(0)}=1$，结合 $y(0)=1$ 得 $y^{\prime }(0)=1$，故 $C_1=\frac{p}{y}{|}_{x=0}=1$，即 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y$。

解 $y^{\prime }=y$ 得 $y=C_2{e}^x$，再由 $y(0)=1$ 得 $C_2=1$。故所求曲线为 $y=e^x$。