1998 年考研数学（一）第 9 题

选择题 · 3 分

设矩阵

a_{1} a_{2} a_{3} b_{1} b_{2} b_{3} c_{1} c_{2} c_{3}

是满秩的，则直线

\frac{x - a _{3}}{a _{1} - a _{2}} = \frac{y - b _{3}}{b _{1} - b _{2}} = \frac{z - c _{3}}{c _{1} - c _{2}}

与直线

\frac{x - a _{1}}{a _{2} - a _{3}} = \frac{y - b _{1}}{b _{2} - b _{3}} = \frac{z - c _{1}}{c _{2} - c _{3}}

（　　）

提示 1

判断两直线关系，先比较方向向量是否平行，再看是否共面。写出两条直线的方向向量

s_{1}, s_{2}

。

提示 2

用「矩阵满秩即行列式非零」这一条件：通过行变换（如把某行拆成两行之和）把由

s_{1}, s_{2}

排成的行列式与原矩阵行列式联系起来，判断

s_{1}, s_{2}

是否平行。

提示 3

再取两直线上各一点构造连接向量，算它与

s_{1}, s_{2}

的混合积是否为零，以判断共面；共面且不平行意味着什么？

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

空间两直线的分类靠两把尺子：方向是否平行、是否共面。这里的巧妙在于「满秩」给出的行列式非零，借行列式的加性（某行恰是另两行之和）既能说明两方向不平行，又能推出连接向量与两方向的混合积为零（共面）。两者一合，两直线只能相交于一点。

解答

解：记两直线的方向向量

s_{1} = (a_{1} - a_{2}, b_{1} - b_{2}, c_{1} - c_{2})

，

s_{2} = (a_{2} - a_{3}, b_{2} - b_{3}, c_{2} - c_{3})

。由矩阵满秩（行列式非零）及行列式性质，

a_{1} - a_{2} a_{2} - a_{3} a_{3} b_{1} - b_{2} b_{2} - b_{3} b_{3} c_{1} - c_{2} c_{2} - c_{3} c_{3} = a_{1} a_{2} a_{3} b_{1} b_{2} b_{3} c_{1} c_{2} c_{3} \neq = 0,

故

s_{1}, s_{2}

不平行，排除 (B)(C)。

取两直线上的点

M_{1} (a_{3}, b_{3}, c_{3})

、

M_{2} (a_{1}, b_{1}, c_{1})

，则

M_{1} M_{2} = (a_{1} - a_{3}, b_{1} - b_{3}, c_{1} - c_{3})

。由于第一行恰为后两行之和（如

a_{1} - a_{3} = (a_{1} - a_{2}) + (a_{2} - a_{3})

），有混合积

M_{1} M_{2} \cdot (s_{1} \times s_{2}) = a_{1} - a_{3} a_{1} - a_{2} a_{2} - a_{3} b_{1} - b_{3} b_{1} - b_{2} b_{2} - b_{3} c_{1} - c_{3} c_{1} - c_{2} c_{2} - c_{3} = 0,

故两直线共面。

两直线共面且方向不平行，必相交于一点，选 A。

1998 年考研数学（一） 第 9 题