1998 年考研数学（一） 第 8 题

题目把「微分」藏在增量表达式里：$\Delta y=(\text{线性主部})\Delta x+o(\Delta x)$ 就是可微的定义，主部系数即导数。识破这一点后，问题化为解可分离变量方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{1+x^2}$，积出 $\arctan x$、代初值即可，选项里出现的 ${\mathrm{e}}^{\pi /4}$ 也印证了 $\arctan$ 的来路。

解：由 $\Delta y=\frac{y}{1+x^2}\Delta x+o(\Delta x)$ 知 $y=y(x)$ 可微（从而可导），且 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{1+x^2}$。

这是可分离变量方程，$\frac{\mathrm{d}y}{y}=\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$，积分得 $\ln |y|=\arctan x+C_1$，即 $y=C{\mathrm{e}}^{\arctan x}$。

由 $y(0)=\pi$ 得 $C=\pi$，于是 $y(x)=\pi {\mathrm{e}}^{\arctan x}$，故 $y(1)=\pi {\mathrm{e}}^{\pi /4}$。选 D。