1998 年考研数学（一） 第 7 题

带绝对值的函数，不可导点只可能在绝对值内部的零点，但「可疑 $\ne$ 一定不可导」。判定诀窍是看该零点处绝对值因子能否被相邻的多项式零因子「吸收」成 $(x-a)|x-a|$（这是可导的）。逐点计算左右导数是最稳妥的验证，从而筛掉那个假的不可导点，得到真正的个数。

分析：$|x^3-x|=|x||x-1||x+1|$，带绝对值因子在 $x=-1,0,1$ 处可能不可导。是否真不可导，要看这些点处绝对值因子能否与光滑因子配成可导形式。

改写 $f(x)=(x-2)(x+1)|x||x-1||x+1|=(x-2)|x||x-1|\cdot (x+1)|x+1|$。在 $x=-1$ 处，因子 $(x+1)|x+1|$ 可导，其余因子在 $x=-1$ 连续可导，故 $f$ 在 $x=-1$ 可导。

在 $x=0$：$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{|x|}{x}(x^2-x-2)|x^2-1|=2$，$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\cdots )=-2$，左右导数不等，不可导。

在 $x=1$：$f_{-}^{\prime }(1)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{|x-1|}{x-1}(x^2-x-2)|x(x+1)|=4$，$f_{+}^{\prime }(1)=-4$，左右导数不等，不可导。

故不可导点为 $x=0,1$，共 $2$ 个，选 B。