1998 年考研数学（一） 第 6 题

这类「被积函数含参变量 $x$」的变限积分求导，直接求导会很乱，正确信号是先换元消去被积函数里的 $x$。凑微分 $t\mathrm{d}t=-\frac{1}{2}\mathrm{d}(x^2-t^2)$ 是关键一步，把它化成上限为 $x^2$ 的普通变上限积分后，牛顿-莱布尼茨公式加链式法则便一步到位。

解：被积函数含变量 $x$，先换元把它移出积分号。注意 $t\mathrm{d}t=-\frac{1}{2}\mathrm{d}(x^2-t^2)$，令 $u=x^2-t^2$：
$${\int }_0^{x}tf(x^2-t^2)\mathrm{d}t=-\frac{1}{2}{\int }_0^{x}f(x^2-t^2)\mathrm{d}(x^2-t^2)=\frac{1}{2}{\int }_0^{x^2}f(u)\mathrm{d}u.$$

再对 $x$ 求导（变上限积分求导）：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{1}{2}{\int }_0^{x^2}f(u)\mathrm{d}u\right]=\frac{1}{2}f(x^2)\cdot 2x=xf(x^2).$$
故选 A。