1998 年考研数学（一） 第 5 题

均匀分布问题的套路是「先求面积定出常数密度，再对另一变量积分求边缘密度」。这里 $D$ 的上边界是 $y=1/x$，所以对 $y$ 积分的上限随 $x$ 变化，得到 $f_X(x)=\frac{1}{2x}$；最后在 $x=2$ 处取值即可，别忘了先确认该点在 $x$ 的取值范围内。

解：区域 $D$ 的面积 $A={\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}dx{\int }_0^{1/x}dy={\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}\frac{1}{x}dx=2$，故 $(X,Y)$ 的联合密度为
$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& (x,y)\in D,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

当 $1<x<{\mathrm{e}}^2$ 时，$f_X(x)={\int }_0^{1/x}\frac{1}{2}dy=\frac{1}{2x}$；其余 $x$ 处 $f_X(x)=0$。故 $f_X(2)=\frac{1}{4}$。