1998 年考研数学（一） 第 4 题

关键桥梁是 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$，它把「伴随矩阵的特征值」化成「$A$ 特征值的倒数再乘 $|A|$」。一旦看出特征向量 $\alpha$ 在 $A^{\ast }$ 下仍是特征向量，那么 $A^{\ast }$ 的任意多项式对 $\alpha$ 的特征值，就是把 $A^{\ast }$ 的特征值代入该多项式，$(A^{\ast }{)}^2+E$ 自然水到渠成。

解：设 $\alpha$ 是 $A$ 对应特征值 $\lambda$ 的特征向量，则 $A\alpha =\lambda \alpha$（因 $|A|\ne 0$，故 $\lambda \ne 0$）。

由 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$ 得 $A^{\ast }\alpha =\frac{|A|}{\lambda }\alpha$，从而
$$[(A^{\ast }{)}^2+E]\alpha =\left[{\left(\frac{|A|}{\lambda }\right)}^2+1\right]\alpha .$$
故 $(A^{\ast }{)}^2+E$ 必有特征值 ${\left(\frac{|A|}{\lambda }\right)}^2+1$。