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1998 年考研数学（一）第 3 题

填空题 · 3 分

设

l

为椭圆

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1

，其周长记为

a

，则

\oint_{l} (2 x y + 3 x^{2} + 4 y^{2}) d s =

___。

提示 1

第一类曲线积分遇到对称的积分曲线，先别急着参数化。观察椭圆

l

关于

x

轴、

y

轴的对称性，看哪些项积分为零。

提示 2

2 x y

关于

x

（或

y

）是奇函数，在对称曲线上积分为

0

；剩下的

3 x^{2} + 4 y^{2}

设法用椭圆方程化简。

提示 3

在

l

上恒有

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1

，试着把

3 x^{2} + 4 y^{2}

凑成这个式子的整数倍。

答案与详解

答案 $12 a$

思路（为什么这么做）

看到第一类曲线积分且曲线关于坐标轴对称，第一反应是用「奇函数在对称曲线上积分为零」砍掉

2 x y

项。再注意被积的

3 x^{2} + 4 y^{2}

恰能被椭圆方程约束成常数

12

，于是积分退化为常数乘弧长（周长

a

），完全不必参数化硬算。

解答

解：由对称性，

\oint_{l} 2 x y d s = 0

（

l

关于两坐标轴对称，而

2 x y

关于

x

、

y

均为奇函数）。

在椭圆

l

上

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1

，即

3 x^{2} + 4 y^{2} = 12 (\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3}) = 12

，于是

\oint_{l} (2 x y + 3 x^{2} + 4 y^{2}) d s = \oint_{l} (3 x^{2} + 4 y^{2}) d s = 12 \oint_{l} d s = 12 a .

考点：第一类曲线积分（对弧长）

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