1998 年考研数学（一） 第 2 题

复合函数的高阶混合偏导，核心是分清「外函数导数 $\times$ 内函数导数」并对每一项耐心用乘积法则。先对 $x$ 求导是因为 $\frac{1}{x}$ 只与 $x$ 有关、求导后结构更简单；算二阶时留意某些项相消，能避免因项数多而算错。

解：先对 $x$ 求偏导：
$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{x^2}f(xy)+\frac{y}{x}{f}^{\prime }(xy)+y{\phi }^{\prime }(x+y).$$

再对 $y$ 求偏导：
$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=-\frac{1}{x}{f}^{\prime }(xy)+\frac{1}{x}{f}^{\prime }(xy)+y{f}^{\prime \prime }(xy)+{\phi }^{\prime }(x+y)+y{\phi }^{\prime \prime }(x+y)=y{f}^{\prime \prime }(xy)+{\phi }^{\prime }(x+y)+y{\phi }^{\prime \prime }(x+y).$$