1998 年考研数学（一） 第 1 题

分母 $x^2$ 直接告诉你「要展开到二阶」——若一次项不抵消极限就不存在。恰因 $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$ 是 $x$ 的偶函数，奇次项自动消失，留下的 $x^2$ 系数正好与分母匹配。用幂级数展开比连用两次洛必达更干净，一步就给出分子的主部。

分析：$x\to 0$ 时分子、分母同趋于 $0$，属 $\frac{0}{0}$ 型，用泰勒展开（或洛必达法则）处理。

解：由 $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+o(x^2)$，得
$$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+o(x^2),\sqrt{1-x}=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+o(x^2).$$

两式相加：$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2=-\frac{1}{4}{x}^2+o(x^2)\sim -\frac{1}{4}{x}^2$，故
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2}=-\frac{1}{4}.$$