1996 年考研数学（一） 第 9 题

被积表达式里含参变量 $x$（藏在 $x^2-t^2$ 中），不能直接对上限求导，必须先把 $x$ 提到积分号外再求导——这是变限积分的关键一招。求导后 $F^{\prime }(x)=2x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，再逐层数无穷小的阶（因 $f(0)=0$，${\int }_0^{x}f$ 是二阶）即得 $k$。

本题考查变限积分求导与无穷小阶的比较。

把 $x$ 提到积分号外：$F(x)=x^2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_0^x{t}^{2}f(t)\mathrm{d}t$。

求导（后一项求导得 $x^{2}f(x)$ 与前一项中 $x^{2}f(x)$ 相消）：$F^{\prime }(x)=2x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$。

考察 $\frac{F^{\prime }(x)}{x^3}=\frac{2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t}{x^2}$，由洛必达（或积分中值）$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2f(x)}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime }(0)\ne 0$。

故 $F^{\prime }(x)$ 与 $x^3$ 同阶，$k=3$。故选 C。