1996 年考研数学（一） 第 8 题

面对含 $(-1{)}^n$ 的级数，先冲绝对收敛这个最强结论。核心观察是 $n\tan \frac{\lambda }{n}\to \lambda$（有界），于是通项绝对值 $\sim \lambda a_{2n}$；而 $\sum a_n$ 收敛保证其子列之和 $\sum a_{2n}$ 收敛，比较判别法立刻给出绝对收敛。

本题考查级数的绝对收敛，用比较判别法与等价无穷小。

由 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛（正项）知其子列之和 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}$ 也收敛。

当 $n\to \infty$ 时 $\frac{\lambda }{n}\to 0$，故 $n\tan \frac{\lambda }{n}=n\cdot \frac{\lambda }{n}\cdot \frac{\tan (\lambda /n)}{\lambda /n}\to \lambda$，从而 $\left|(-1{)}^n\left(n\tan \frac{\lambda }{n}\right)a_{2n}\right|\sim \lambda a_{2n}$。

由比较判别法，$\sum _{n=1}^{\infty }\left|(-1{)}^n\left(n\tan \frac{\lambda }{n}\right)a_{2n}\right|$ 收敛，即原级数绝对收敛。故选 A。