1996 年考研数学（一） 第 7 题

给的是极限而非具体函数，关键钥匙是极限保号性：$\lim \frac{f^{\prime \prime }(x)}{|x|}=1>0$ 保证 $x$ 在 $0$ 的去心邻域内 $f^{\prime \prime }(x)>0$。于是 $f^{\prime }$ 单调递增且过零点，导数由负变正，极值类型随之确定；而 $f^{\prime \prime }$ 不变号又排除了拐点的可能。

本题考查用极限保号性判断极值。

由 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x)}{|x|}=1>0$ 及极限保号性，存在 $\delta >0$，当 $0<|x|<\delta$ 时 $\frac{f^{\prime \prime }(x)}{|x|}>0$，即 $f^{\prime \prime }(x)>0$。

于是 $f^{\prime }(x)$ 在 $(-\delta ,\delta )$ 内单调递增。又 $f^{\prime }(0)=0$，故当 $x\in (-\delta ,0)$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，当 $x\in (0,\delta )$ 时 $f^{\prime }(x)>0$。

由极值第一充分条件，$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值。又 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 在 $x=0$ 两侧不变号，故 $(0,f(0))$ 不是拐点。故选 B。