1996 年考研数学（一） 第 6 题

表达式为某函数的全微分，其充要条件就是 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$（在单连通域上），这是识别此类题的信号。求出两个偏导后令其恒等，由于要对所有 $x,y$ 成立，比较系数便能解出 $a$。

本题考查“表达式为某函数全微分”的充要条件 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$。

记 $P=\frac{x+ay}{(x+y{)}^2}$，$Q=\frac{y}{(x+y{)}^2}$。

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{a(x+y{)}^2-2(x+y)(x+ay)}{(x+y{)}^4}=\frac{a(x+y)-2(x+ay)}{(x+y{)}^3},\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{-2y}{(x+y{)}^3}.$$

令二者相等：$a(x+y)-2(x+ay)=-2y$，即 $(a-2)x+(a-2a+2)y=-2y$。比较系数得 $a-2=0$，即 $a=2$。故选 D。