1996 年考研数学（一） 第 5 题

看到「求 $r(AB)$」，先反射性地检查 $B$ 可逆与否，因为「乘可逆矩阵不改变秩」是最省事的判据。一旦算得 $|B|\ne 0$，$r(AB)$ 便直接由 $r(A)$ 决定，完全不必真正展开矩阵乘积。

本题考查“乘以可逆矩阵不改变秩”。

$|B|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right|=2\times (3+2)=10\ne 0$，故 $B$ 可逆。

用可逆矩阵右乘不改变秩，所以 $r(AB)=r(A)=2$。