1996 年考研数学（一） 第 4 题

方向导数公式 $\frac{\partial u}{\partial l}=\nabla u\cdot {\mathbf{e}}_l$ 把问题拆成两半：算梯度、定单位方向。最易错处是忘记单位化——$\overrightarrow{AB}=(2,-2,1)$ 模长为 $3$，用它的方向余弦点乘梯度才是正确结果。

本题考查方向导数 $\frac{\partial u}{\partial l}=\nabla u\cdot {\mathbf{e}}_l$。 先求偏导，再点乘单位方向向量。

记 $\rho =\sqrt{y^2+z^2}$，则 $u_x=\frac{1}{x+\rho }$，$u_y=\frac{1}{x+\rho }\cdot \frac{y}{\rho }$，$u_z=\frac{1}{x+\rho }\cdot \frac{z}{\rho }$。

在 $A(1,0,1)$ 处 $\rho =1$，得 $u_x=\frac{1}{2},u_y=0,u_z=\frac{1}{2}$。

方向 $\overrightarrow{AB}=(2,-2,1)$，$|\overrightarrow{AB}|=3$，单位向量方向余弦 $\cos \alpha =\frac{2}{3},\cos \beta =-\frac{2}{3},\cos \gamma =\frac{1}{3}$。

故 $\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}+0\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$。