1996 年考研数学（一） 第 3 题

常系数线性非齐次方程的标准套路是「齐次通解 $+$ 特解」。特征根为共轭复根 $1\pm i$，齐次解自然带 $e^x\cos x$ 与 $e^x\sin x$；由于自由项指数 $1$ 不是特征根，特解不必乘 $x$，直接设 $A{e}^x$ 待定即可。

本题考查二阶常系数线性非齐次方程的通解。 通解 = 齐次通解 + 一个特解。

特征方程 ${\lambda }^2-2\lambda +2=0$，特征根 ${\lambda }_{1,2}=1\pm i$，故齐次通解为 $y=e^x(C_1\cos x+C_2\sin x)$。

因自由项 $e^x$ 中 $1$ 不是特征根，设特解 $y^{\ast }=A{e}^x$，代入得 $A-2A+2A=1$，即 $A=1$，故 $y^{\ast }=e^x$。

综上，通解为 $y=e^x(C_1\cos x+C_2\sin x)+e^x$（$C_1,C_2$ 为任意常数）。