1996 年考研数学（一）第 10 题

选择题 · 3 分

4

阶行列式

a_{1} 00 b_{4} 0 a_{2} b_{3} 0 0 b_{2} a_{3} 0 b_{1} 00 a_{4}

的值等于（　　）.

提示 1

非零元分布很特殊（呈中心对称的「井」字），按含零最多的行或列展开最省力，比如第一行。

提示 2

按第一行展开只剩两项，各自的三阶余子式又能继续按某行/列降阶。

提示 3

降阶后两项会出现相同的公因子，提取公因子即得因式分解形式；拿不准也可代入特殊数值排除选项验证。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

行列式零元很多时，沿含零最多的行/列展开最轻松。这里第一行只有

a_{1}, b_{1}

非零，展开后的三阶行列式又各是「对角

+

反对角」的简单结构，最终自然分解成两个二项式之积。若嫌推导繁琐，用特殊数值代入排除选项也很有效。

解答

本题考查行列式按行展开。 按第一行展开（第一行只有

a_{1}, b_{1}

非零）：

D = a_{1} M_{11} - b_{1} M_{14} = a_{1} a_{2} b_{3} 0 b_{2} a_{3} 0 00 a_{4} - b_{1} 00 b_{4} a_{2} b_{3} 0 b_{2} a_{3} 0 .

第一个三阶行列式

= a_{4} (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3})

；第二个按第一列展开

= b_{4} (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3})

。

D = a_{1} a_{4} (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}) - b_{1} b_{4} (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}) = (a_{1} a_{4} - b_{1} b_{4}) (a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}) .

故选 D。

1996 年考研数学（一） 第 10 题