1996 年考研数学（一） 第 11 题

极坐标曲线求弧长直接上 $\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}$。心形线的妙处在 $r^2+r^{\prime 2}=2a^2(1+\cos \theta )$ 恰能用半角公式化为 $4a^2{\cos }^2\frac{\theta }{2}$，开方后被积函数变得极简；再借对称性把积分区间减半，计算量大为减少。

本题考查极坐标下曲线的弧长公式 $\mathrm{d}s=\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta$。

由对称性，全长 $l=2{\int }_0^{\pi }\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}\mathrm{d}\theta$。其中 $r=a(1+\cos \theta )$，$r^{\prime }=-a\sin \theta$。

$$r^2+r^{\prime 2}=a^2(1+\cos \theta {)}^2+a^2{\sin }^2\theta =2a^2(1+\cos \theta )=4a^2{\cos }^2\frac{\theta }{2}.$$

故 $l=2{\int }_0^{\pi }2a\left|\cos \frac{\theta }{2}\right|\mathrm{d}\theta =4a{\int }_0^{\pi }\cos \frac{\theta }{2}\mathrm{d}\theta =4a{\left[2\sin \frac{\theta }{2}\right]}_0^{\pi }=8a$。