1996 年考研数学（一） 第 12 题

递推数列的收敛性，「单调有界必收敛」是首选路径。算出 $x_2=4<x_1=10$ 提示数列递减，而 $\sqrt{6+x_n}>0$ 给出下界，两者一凑极限即存在。求值的诀窍是「极限方程」$A=\sqrt{6+A}$，解出后按 $A\ge 0$ 舍去负根。

本题考查单调有界准则。 先证有界，再证单调，最后由递推关系求极限。

有下界。 $x_n>0$ 显然（由 $x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}>0$）。

单调递减。 令 $f(x)=\sqrt{6+x}$，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{6+x}}>0$，故 $f$ 单调增，$\{x_n\}$ 保持单调性。由 $x_1=10$，$x_2=\sqrt{6+10}=4<x_1$，故 $\{x_n\}$ 单调递减。

由单调递减且有下界，极限存在。设 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A(A\ge 0)$，对 $x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$ 取极限得 $A=\sqrt{6+A}$，即 $A^2-A-6=0$，$(A-3)(A+2)=0$。取 $A\ge 0$ 得 $A=3$。

故 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=3$。