1996 年考研数学（一） 第 13 题

抛物面 $z=x^2+y^2$ 不封闭，直接投影算 $\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 项较繁；补一张顶盖凑成闭曲面即可上高斯公式，把曲面积分转成好算的三重积分。核心是记账：原积分 $=$ 闭曲面 $-$ 补面，并全程盯紧法向量的正负朝向以定符号。

本题考查用高斯公式计算第二类曲面积分（补面成闭曲面）。

$S$ 不封闭，补上顶盖 $S_1:z=1(x^2+y^2\le 1)$ 并取下侧，使 $S+S_1$ 成为包围区域 $\Omega =\{(x,y,z):x^2+y^2\le z\le 1\}$ 的封闭曲面（取内侧）。

对封闭曲面用高斯公式，被积表达式对应 $P=2x+z,Q=0,R=z$，散度 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=2+0+1=3$。因所取为内侧，故

$${\iint }_{S+S_1}(2x+z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-3{\iiint }_{\Omega }\mathrm{d}v=-3{\int }_0^1\left({\iint }_{x^2+y^2\le z}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}z=-3{\int }_0^1\pi z\mathrm{d}z=-\frac{3\pi }{2}.$$

在 $S_1$（$z=1$，取下侧）上，$\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 部分投影为零；${\iint }_{S_1}z\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-{\iint }_{x^2+y^2\le 1}1\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\pi$。故 ${\iint }_{S_1}=-\pi$。

因此 ${\iint }_S={\iint }_{S+S_1}-{\iint }_{S_1}=-\frac{3\pi }{2}-(-\pi )=-\frac{\pi }{2}$。