1996 年考研数学（一） 第 14 题

变量代换化简偏微分方程，本质是用链式法则把 $x,y$ 的导数翻译成 $u,v$ 的导数。要让方程只剩 $z_{uv}=0$，就须让 $z_{uu},z_{vv}$ 的系数都消失——$z_{uu}$ 的系数会自动为零，再令 $z_{vv}$ 的系数为零便定出 $a$，同时舍掉使 $z_{uv}$ 系数也为零的退化根。

本题考查多元复合函数的二阶偏导数与变量代换。 由 $u=x-2y,v=x+ay$ 得 $u_x=1,u_y=-2,v_x=1,v_y=a$。

一阶：$\frac{\partial z}{\partial x}=z_u+z_v$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-2z_u+a{z}_v$。

二阶（注意 $z_u,z_v$ 仍是 $u,v$ 的函数）：

$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=z_{uu}+2z_{uv}+z_{vv},$$

$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=-2z_{uu}+(a-2)z_{uv}+a{z}_{vv},$$

$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=4z_{uu}-4a{z}_{uv}+a^2{z}_{vv}.$$

代入原方程 $6z_{xx}+z_{xy}-z_{yy}=0$ 并整理，$z_{uu}$ 的系数为 $6\cdot 1-2-4=0$（自动消去），得

$$(5a+10)z_{uv}+(-a^2+a+6)z_{vv}=0.$$

要化简为 $z_{uv}=0$，需 $z_{vv}$ 系数为零而 $z_{uv}$ 系数非零：$\{\begin{array}{l}-a^2+a+6=0\\ 5a+10\ne 0\end{array}$。解 $a^2-a-6=0$ 得 $a=3$ 或 $a=-2$，舍去 $a=-2$（使 $5a+10=0$），故 $a=3$。