1996 年考研数学（一） 第 15 题

通项含 $\frac{1}{n^2-1}$ 又带 $2^{-n}$，提示用「母函数法」：把 $2^{-n}$ 看成 $x^n{|}_{x=1/2}$，先构造幂级数求出和函数。部分分式拆项后，两个子级数都能对齐到经典展开 $-\ln (1-x)$，靠平移指标凑成标准形，末了代入 $x=\frac{1}{2}$ 即得。

本题考查借助幂级数求数项级数的和。 构造幂级数 $S(x)=\sum _{n=2}^{\infty }\frac{x^n}{n^2-1}(-1<x<1)$，则所求为 $S\left(\frac{1}{2}\right)$。

由 $\frac{1}{n^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)$，得 $S(x)=\frac{1}{2}\left(\sum _{n=2}^{\infty }\frac{x^n}{n-1}-\sum _{n=2}^{\infty }\frac{x^n}{n+1}\right)$，且 $S(0)=0$。

利用 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}=-\ln (1-x)$。当 $x\ne 0$ 时：

$$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{x^n}{n-1}=x\sum _{n=2}^{\infty }\frac{x^{n-1}}{n-1}=x\sum _{m=1}^{\infty }\frac{x^m}{m}=-x\ln (1-x),$$

$$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{x^n}{n+1}=\frac{1}{x}\sum _{n=2}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{n+1}=\frac{1}{x}\sum _{m=3}^{\infty }\frac{x^m}{m}=\frac{1}{x}\left(-\ln (1-x)-x-\frac{x^2}{2}\right).$$

于是 $S(x)=\frac{1}{2}\left[-x\ln (1-x)-\frac{1}{x}\left(-\ln (1-x)-x-\frac{x^2}{2}\right)\right]=\left(\frac{1}{2x}-\frac{x}{2}\right)\ln (1-x)+\frac{1}{2}+\frac{x}{4}$。

代入 $x=\frac{1}{2}$：$S\left(\frac{1}{2}\right)=\left(1-\frac{1}{4}\right)\ln \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=-\frac{3}{4}\ln 2+\frac{5}{8}$。

故 $\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{(n^2-1)2^n}=\frac{5}{8}-\frac{3}{4}\ln 2$。