1996 年考研数学（一） 第 16 题

「切线在 $y$ 轴上的截距」是几何语言，先翻译成 $f(x)-x{f}^{\prime }(x)$。等式右边含变限积分，通用手法是两边对 $x$ 求导化掉积分号；整理后发现恰是 $(x{f}^{\prime }(x){)}^{\prime }=0$，两次积分即得通解，两个任意常数正好对应问题的二阶结构。

本题考查由几何条件建立微分方程。

曲线在点 $(x,f(x))$ 处的切线为 $Y-f(x)=f^{\prime }(x)(X-x)$，令 $X=0$ 得 $y$ 轴截距 $Y=f(x)-x{f}^{\prime }(x)$。

由题意 $f(x)-x{f}^{\prime }(x)=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，两边乘 $x$ 得 $xf(x)-x^2{f}^{\prime }(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$。

两边对 $x$ 求导：$f(x)+x{f}^{\prime }(x)-2x{f}^{\prime }(x)-x^2{f}^{\prime \prime }(x)=f(x)$，化简为 $x{f}^{\prime }(x)+x^2{f}^{\prime \prime }(x)=0$，即 $(x{f}^{\prime }(x){)}^{\prime }=0$。

故 $x{f}^{\prime }(x)=C_1$，$f^{\prime }(x)=\frac{C_1}{x}$，积分得 $f(x)=C_1\ln x+C_2$（$C_1,C_2$ 为任意常数）。