1996 年考研数学（一） 第 17 题

要用 $f$ 与 $f^{\prime \prime }$ 的界去控制 $f^{\prime }(c)$，泰勒公式是天然桥梁——它恰把 $f^{\prime }(c)$ 与函数值、$f^{\prime \prime }$ 的余项连在一起。取 $x=0,1$ 两端点是为了引入已知界 $|f|\le a$；相减消去未知的 $f(c)$，剩下的用三角不等式放缩，再借 $c^2+(1-c{)}^2\le 1$ 收尾。

(1) 一阶泰勒公式（带拉格朗日余项）。 对 $x\in [0,1]$，在 $x=c$ 处展开：

$$f(x)=f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2!}(x-c{)}^2,\xi \text{ 介于 }x\text{ 与 }c\text{ 之间}.$$

(2) 分别取 $x=0$ 与 $x=1$。

$$f(0)=f(c)+f^{\prime }(c)(0-c)+\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_1)}{2}{c}^2,0<{\xi }_1<c,$$

$$f(1)=f(c)+f^{\prime }(c)(1-c)+\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_2)}{2}(1-c{)}^2,c<{\xi }_2<1.$$

两式相减，$f(c)$ 消去，解出 $f^{\prime }(c)$：

$$f^{\prime }(c)=f(1)-f(0)+\frac{c^2}{2}{f}^{\prime \prime }({\xi }_1)-\frac{(1-c{)}^2}{2}{f}^{\prime \prime }({\xi }_2).$$

取绝对值并用 $|f|\le a,|f^{\prime \prime }|\le b$：

$$|f^{\prime }(c)|\le |f(1)|+|f(0)|+\frac{c^2}{2}|f^{\prime \prime }({\xi }_1)|+\frac{(1-c{)}^2}{2}|f^{\prime \prime }({\xi }_2)|\le 2a+\frac{b}{2}[c^2+(1-c{)}^2].$$

由 $0<c<1$ 有 $c^2\le c$，$(1-c{)}^2\le 1-c$，故 $c^2+(1-c{)}^2\le c+(1-c)=1$。

因此 $|f^{\prime }(c)|\le 2a+\frac{b}{2}$。证毕。